成绩在什么的世界里？
这个世界有无数种颜色，无数个形状，无数个尺寸，但人类只能感知其中极少的一部分。 同样，这个世界有无穷多的数，但我们只能掌握其中的极少一部分，我们把这有限的数称作“有理数”，而把那些我们不能掌握的数称作“无理数”。 分数是有理数的一种特殊形式——它是由无数个整数相加所得的，即分子分母同时乘以(或除以)一个不为零的整数，分数值不变。所以这种性质被称为可约性（交换与结合律的应用），而所有这样的数都称之为有理数。 可得，一切平方根和有绝对值的数都是有理数；相反，一切平方不等于1的有理数和一切绝对值可以展开成无穷级数的数是无理数。 无理数没有有限小数和无限循环小数的表达式，它们只有无限不重复的数字表达式。因而，为了表示它们的不同，人们发明了复数（所有纯虚数都是有理数，所有纯实数都是无理数）。
我引用这个定义并不是因为它有多精彩，而是因为它的确展示了什么是有理数、什么是无理数。 这个世界上有很多你没有办法直接理解的东西，正如你不能理解所有的无理数一样。 但没有关系，我们只需要了解我们能理解的就好。 比如，整数和整式的代数运算是我们学过的最基本的知识，对于这些人来说，任何有理数都是可以计算的，因为任何有理数都可以表示成一系列整数的和。因此计算有理数的加减乘除都有意义。
而对于无理数，我们就不可能用算数的方法来求得答案。但我们仍然可以求出其近似值——将这个无理数逼近给一个有理数就可以了。只要这个逼近的过程是合理的，那么无论多精确，这个接近有理数的数值就是原来的那个无理数。也就是说，虽然我们对无理数一无所知，但我们可以把它计算到任何精度。